Title: digi.komp12 Beispiel
Course: Winkelfunktionen - Harmonische Schwingungen

Mathematik

Winkelfunktionen-Harmonische Schwingung

10./11./12. Schulstufe

Aufgabe 1

Die Graphen der Winkelfunktionen kann man mit Hilfe des Einheitskreises zeichnen. Verwende dieses GeoGebra-Applet, um die folgenden Fragen zu beantworten.

- In welchen Quadranten ist der Sinus positiv?
- In welchen Quadranten ist der Cosinus negativ?
- Was ist sin(0°)?
- Was ist cos(180°)?
- Was ist sin(180°)?
- Was ist cos(270°)?

Teste hier dein Wissen über Sinus und Cosinus im Einheitskreis.

Harmonische Schwingungen:

Sinusfunktionen können Schwingungsvorgänge beschreiben. Man verwendet dazu folgende Begriffe:

- Amplitude r: größte Entfernung des schwingenden Körpers von der Ruhelage (Einheit: 1m)
- Schwingungsdauer T: Zeitdauer einer vollen Schwingung (Einheit: 1s)
- Frequenz f: Zahl der Schwingungen pro Sekunde (Einheit: 1 Hertz)
- Elongation s(t) zum Zeitpunkt t: Der mit Vorzeichen versehene Abstand des Körpers von der Ruhelage zum Zeitpunkt t (Einheit: 1m)

Die Frequenz ist der Kehrwert der Schwingungsdauer: f = 1 / T

Aufgabe 2

f(x) = a . sin(b . x)
Welche Bedeutungen haben die Parameter a und b? Experimentiere mit diesem GeoGebra-Applet.

Überprüfe dein Wissen hier!
Und danach hier!

Aufgabe 3

In einem Atemzug atmet ein erwachsener Mensch durchschnittlich 0,5l Luft ein. Die Geschwindigkeit eines gleichmäßigen Atemvorgangs eines Menschen zum Zeitpunkt t wird durch die Funktion v(t) = \( \frac{2.\pi.6,5 }{60} . sin( \frac{13.2. \pi }{60} .t+ \frac{\pi}{2} ) \) modelliert
(t in s, v in l/s).
Zeichne den Funktionsgraphen mit GeoGebra.

- Berechne v für t = 12s und t = 30s und interpretiere dein Ergebnis.
- Wie viele Atemzyklen (vollständiges Ein- und Ausatmen) hat dieser Mensch pro Minute?
- Wie lange benötigt dieser Mensch für einen vollständigen Atemzyklus?
- Berechne die maximale Atemgeschwindigkeit dieses Menschen.
- Berechne die erste Nullstelle dieser Funktion. Was bedeutet die Nullstelle in diesem Kontext?

Überprüfe deine Lösungen mit Hilfe der Videoanleitung!